Интересная задача о заряде конденсатора Опции

[Гость_Сергей_*]

Если кто силен в расчете переходных процессов, подскажите, пожалуйста(можете дать ссылку), как рассчитать процесс заряда конденсатора при отключении катушки индуктивности . Схема такая:
"+"источника постоянного напряжения ->ключ->индуктивность->"-"источника постоянного напряжения. Параллельно индуктивности подключен через диод(катодом на L)конденсатор. Такая схема применяется в импульных преобразователях. Интересует любая информация по расчету такой схемы(влияние стального магнитопровода, зависимость от вида корней характеристического уравнения(действительные или комплексные) и т.д. К сожалению, давно не занимался теоретической электротехникой....

[Коот]

Нарисуй схемку.

[Гость_Сергей_*]

Да я бы нарисовал, да она сюда не вставляется!

[Гость_ВЛАД_*]

как вставить рисунок? см:
http://electrik.org/index.php?name=PNphpBB...er=asc&start=15

[Гость_Гость_*]

Не хочется париться со вставкой рисунка. Попытаюсь словами(схема-то простая)
По часовой стрелке
+источника> нормально замкнутый ключ>верхний вывод индуктивности>нижний вывод индуктивности>сопротивление R> минус источника, к верхнему выводу индуктивности и минусу параллельно подсоединена цепь: катод диода>анод диода>конденсатор>минус источника.


[/img]

[Коот]

До чего не люблю без схемы что-то говорить, но раз "Не хочется париться со вставкой рисунка" то ничего не поделаешь тут.

1. Момент времени T(бесконечность-)-установившейся режим (ключ замкнут и схема находится в таком состоянии длительное время)
А) Напряжение на конденсаторе (и ток через него) равно нулю- он не может заряжатся т.к. диод включен в обратном направлении относительно источника
Б)Напряжение на катушке равно нулю т.к. сопротивление катушки равно нулю для постоянного тока (XL=2*3.14*F*L (Ом)), т.к. F=0
В) ток через катушку будет равен Uисточника / R
Г)напряжение на резисторе будет равно напряжению на источнике, ток через резистор будет равен току через катушку Uисточника / R

2.Момент времени Т(нулевое)- начало переходного процесса, ключ размыкается.
А) напряжение на конденсаторе равно нулю по закону комутации Закон говорит "напряжение на емкости не может изменится скачком) Ток через конденсатор в этот момент максимальный (изменился скачком) и находится из уравнений переходного процесса (но в общем случае он будет равен току через катушку до переходного процесса ) ток через конденсатор будет уменьшатся по экспоненте а напряжение на конденсаторе будет увеличиватся по экспоненте.
Б) напряжение на катушке изменится скачком и станет максимальныи в этот момент (возможно большим чем напряжение источника)
В) ток через катушку по закону комутации не изменится в первый момент и будет равен току до начала переходного прочесса( этот ток и будет протекать по цепи : диод, кондер, резистор (катушка -это источник в данный момент)) Далее ток через катушку будет уменьшатся по экспоненте.
Г)Напряжение на резисторе будет равно напряжению на катушке ток через резистор не изменится в первый момент.

3. Т(бесконечность+) схема долго простояла с разомкнутым ключем.
Напрядение на конденсаторе равно некому напряжению и не изменяется ток везде равен нулю, напряжение на катушке и на резисторе равно нулю

[Гость_Сергей_*]

Спасибо! Примерно так я и представлял себе работу схемы до отключения и после. Но вот какой вопрос у меня возник, а не возникнет ли в ней до момента "спабатывания" диода колебательный процесс, ведь это колебательный контур с диодом. Если R взять очень малым, то сопротивление контура станет меньше критического и возникнет колебательный процесс(правда, ненадолго). Вообще мне хотелось бы получить формулу Uc в общем виде(чтобы исследовать условия получения максимального U на конденсаторе. Хотя это очевидно - следует увеличивать ток, снижать R катушки и емкость конденсатора. Для обычного колебательного контура нашел формулу
Uc(t)=Uс_уст-Uc_уст*EXP(-alfa*t)*SIN(omega*t+psi)/SIN(psi), где
Uc_уст - установившееся Uc,
alfa, omega, psi - зависят от параметров схемы.
Честно говоря, просто подогнал формулу под начальные и конечные условия своей схемы. В общем, можно ли использовать эту формулу для расчета Uc на начальном этапе развития колебательного процесса?

[Tchernishev]

Я писал ответ, но отослать не успел, инет кончился...
Колебательный процесс возникнуть не должен, так ка это же не радио устройство. КООТ идею изложил грамотно, но диод тут вот зачем. В зависимосте от корней характеристического уравнения свободный ток может быть в данном случае либо в виде суммы экспонент (не менять знака), либо в виде затухающей синусоиды (менять знак). Диод стоит, чтобы во втором случае уменьшить ток обратного направления.
Я бы посоветовал такую цепь промоделировать в Workbench

[Гость_Сергей_*]

Диод для того, чтобы до отключения C не заряжался(хотя это и не так важно) и для прекращения затухающего кодебательного процесса.
A EWB не даст мне формулы в общем виде. Кроме того, как определить Uc_уст, ведь придется интегрировать формулу тока(а она достаточно сложная).

[Tchernishev]

А для чего же вам нужны формулы в общем виде? Они будут чесчур сложны и ввиду принятых допущений не будут давать хорошей точности.

[Гость_Сергей_*]

Чтобы взять производные и устроить этой формуле параметрическую оптимизацию, нужно получить формулу в общем виде.

[Гость_Гость_*]

В принципе, я могу выложить решение в общем виде, но весьма упрощенное. Всё равно параметры схемы нужно знать, так как всё упирается в злочастные корни характеристического уравнения. Они зависят от конфигурации цепи. От них зависит вид свободного тока (будет он периодический или апериодический) и дальнейшее нахождение постоянных интегрирования, то есть всё решение.

[Гость_Сергей_*]

В принципе можно и оба случая рассмотреть, но колебательные корни делают решение посложнее(там синусы появляются).
Конечно, выкладывайте свое решение, пусть будет колебательный процесс.

[Tchernishev]

Колебательного процеса там быть никак не может, затухающая синусоида - совсем другого рода дело. И ещё вопрос: Цепь включается на постоянное или на переменное напряжение???
Если на постоянное, то проблем нет, решение только одно. Если на паременное, то в зависимости от начальной фазы напряжения будут разные амплитуды токов. Тогда надо рассмотреть хотя бы 3 случая, пси=0 (самый тяжёлый, в смысле ток наибольший), пси=45, и пси=90 (переходного процесса нет)

[Гость_Сергей_*]

Источник - постоянный. В принципе, я нашел формулы для включения RLC контура на постоянное напряжение и колебательной разрядки конденсатора через индуктивность, но они не совсем подходят и как раз самое главное - определить постоянные интегрирования.
Uc=E/(omega_св*R*C)*EXP(alfa*t)*SIN(omega_св*t),
i(t)=E/(SIN(psi))*EXP(alfa*t)*SIN(omega_св*t+psi)
Это уже мои подгонки под условие моей задачи.
Еще интересно было бы получить выражение для U на катушке.

[Гость_Сергей_*]

Извиняюсь, i(t) еще на R следует разделить.

[Tchernishev]

Ну тогда вперёд. Я из схемы диод выбросил, и сделал допущение: катушка без ферромагнитного сердечника, то есть насыщения не происходит. В цепь исскуственно введём в ветвь, содержащую конденсатор резистор, иначе не будет выполнен закон коммутации. Пусть это будет сопротивление открытого диода на прямой ветви ВАХ. Оно порядка R2 = 5 Ом (пусть будет так).
Идея такая. Рассматриваем схему:
Индуктивность L = 0.2 Гн, R1(активное сопротивление катушки) = 10 Ом
C = 10 мкФ
Источник ЭДС E=100 В
До коммутации:
ток через катушку:
Il(0-) = 0
напряжение на ёмкости:
Uc(0-) = 0

После коммутации:

принужденный ток (установившийся):
Ilпр = E/Rl = 100/10 = 10 А
принужденное напряжение на конденсаторе:
Ucпр = Rl*Il = 10*10 = 100 В (здесь не возникает других падений напряжения, т.к. постоянный ток через конденсатор не протекает).

Законы коммутации: ток через индуктивность не может меняться скачком, напряжение не ёмкости тоже скачком не меняется.

Отсюда находим начальные занчения свободных токов.

Ilсв(0+) + Ilпр = Il(0+) = Il(0-), тогда Ilсв(0+) = Il(0-) - Ilпр,
Ilсв(0+) = 0 - 10 = -10 А

Ucсв(0+) + Ucпр = Uc(0+) = Uc(0-), тогда Ucсв(0+) = Uc(0-) - Ucпр,
Ucсв(0+) = 0 - 100 = -100 В.

Самый отвественный момент как раз возникает на этом шаге.
Надо составить характеристическое уравнение и определить его корни.

Универсальный способ такой: берут любой разрыв цепи и определяют в общем виде входное сопротивление в зависимости от jw.
Напомню: Xl = jwL, Xc = 1/jwC
Здесь в выражении будет дробь. После преобразований (я 1/jwC вынес за скобки и сократил) получаем
То есть Zвх(jw)=((R1 + jwL)*(R2jwC + 1))/(R1jwC + j^2*w^2*L*C + R2jwC)

Далее выполняем формальную замену jw на P, получаем:
Zвх(P)=((R1 + PL)*(R2PC + 1))/(R1PC + P^2*L*C + R2PC)

Характеристическое уравнение имеет вид Zвх(P) = 0, то есть наша дробь равна нулю. Дробь равна нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Вообще знаменатель мы всегда отбрасываем, правда математического доказательства этому я сейчас на вскидку и не напишу, то мы и не этим занимаемся.

Получаем такую ботву:

(R1 + PL)*(R2PC + 1) = 0

R1 + PL = 0 или R2PC + 1 = 0
Находим отсуда P1 и P2. Комплексными карнтыми корни быть никак не могут, то есть для такой схемы невозможен переходный процесс в виде затухающей синусоиды.

Для тех параметров, что я указал раньше получаем такие корни:

P1 = - R1/L
P1 = - 10/0.2 = - 50 с-1
P2 = - 1/R2C
P2 = 1/5*10^-5 = - 50000 с-1

Получаем свободный ток в виде суммы экспонент. К слову, величина, обратная корню характеристического уравнения называется постоянной времени. Она хороша тем, что физически переходной процесс длится 3-4 постоянных времени и по ней судят о длительности переходных процессов. В нашем случае переходный процесс будет длиться 0,02 с.

Токи и напряжения будут представляться в виде:

ilсв(t) = A1*e^p1*t + A2*e^p2*t

аналогично Ucсв(t).

Далее надо находить постоянные интегрирования A1 и A2.

Это наиболее трудоёмкая задача, а я спать хочу уже . Идея такая: выражение для свободного тока надо продифференцировать и получить систему алгебраических уравнений. Но прежде надо будет составить уравнения по законам Кирхгофа в дифференциальной форме и найти значения производных свободных токов и напряжений в начальный момент времени. Потом они подставляются в систему уравнений, и находятся пстоянные интегрирования.

В общем задача решена, свободные токи складываются с принужденными и получаются полные токи.

Про напряжение на катушке, то тут совлем просто: закон электромагнитной индукции:
Ul = L*dil/dt

Вот так вот и решаются самым простым образом переходные процессы...

Продолжение выложу попозже, пока разбирайтесь с началом. [/img][/url]

[Гость_Сергей_*]

Спасибо! Сразу видно - специалист. Только так подробно можно было выкладки и не приводить!(Только не обижайтесь, пожалуйста). Постепенно бы разобрался. И все-таки я не согласен с тем, что здесь не может быть затухающей синусоиды. Т.е., Вы правы, ее не будет - будет только начальная ветвь, ведь диод не позволит конденсатору разряжаться после зарядки. И еще, представьте, что я выберу для своей схемы совершенно произвольные значения R,L,C(или не совсем случайно R окажется очень маленьким, скажем, для снижения потерь или для ускорения процесса зарядки), как тогда рассчитать по Вашим формулам, если корни комплексно-сопряженные?
И еще момент, в качестве индуктивности мне видится именно катушка с мощным замкнутым железом, поэтому хорошо бы понять, что при этом изменится при работе схемы. Если не доходить до насыщения, то все должно работать примерно так же, как и при отсутствии сердечника(но у катушек со сталью индуктивность зависит от тока).

[Tchernishev]

По поводу комплексных корней дело такое. Если получаются корни вида:
P1 = - a + jb
P2 = - a - jb
Кстати, действительная составляющая должна быть во всех корнях в любом случае отрицательной, что имеет физический смысл - свидетельствует об обязательном затухании.
Так вот, свободные токи и напряжения получатся в виде:

ilсв(t) = A1*(e^-a*t)*sin(b*t + V1), где A1 и V1 - постоянные интегрирования, находятся также, как и в случае действительных корней.
Комплексные корни тут не должны получаться, так как уравнение вида:
(A - X1)*(B-X2) = 0, где A и B - действительные числа
имеет действительные корни. В этом я конечно могу ошибаться, так как математика меня иногда подводит.

По поводу учёта насыщения, то в ТОЭ есть так называемый метод кусочно-линейной аппроксимации. Там кривая намагничивания заменяется ломаной линией. То есть существуют 2 значения индуктивности катушки. Нужно провести исследование переходного процесса дважды, в начале предполагая, что никакого насыщения не происходит, а потом для насыщенной катушки. То есть будет 2 периода времени: от 0 до того момента, когда ток катушки будет соответствовать её насыщению, и после этого, причём, очевидно, что начальное значение тока на втором участке будет соответствовать конечному значению тока на первом.
Вполне возможно, что при определённой конфигурации цепи насыщения вообще может не произойти и то что я писал в прошлый раз вполне правомерно.
А вот как учесть диод и его одностороннюю проводимость я честно не знаю.

[Гость_Сергей_*]

А диод я учту таким образом, что он прекращает колебательный затухающий процесс через четверть периода колебаний контура с момента размыкания ключа.