Помощь - Поиск - Пользователи - Календарь
Перейти к полной версии этой страницы на форумах сайта Электрик: Задачка ВУЗа
Форумы сайта ЭЛЕКТРИК > Теория > Вопросы по теории электротехники


Слава
Физика, постоянный эл.ток, привожу условие дословно:

Цитата
Из нихромового провода длиной L нужно сделать n одинаковых обогревателей так, чтобы они имели общую максимальную мощность. Используется источник тока с электродвижущей силой Е и внутренним сопротивлением r. Определить число нагревателей
.

Думаю, что ответ будет выглядеть много короче, причём числовые значения не даром не даны, да и вообще два слова определяют ответ. Завтра выложу своё мнение.

Roman_D
Ответ - формула. Тема - параллельное соединение сопротивлений.
Удобнее перевести сопротивление в проводимость - так думать удобнее. icon_smile.gif
Victor195002
Наверное, не все так просто. Максимальное значение мощности будет зависеть от соотношения сопротивления нагрузки и внутреннего сопротивления источника напряжения. Помнится, максимум наступает при равенстве этих сопротивлений. Далее проще.
Слава
А я думаю, что максимальная мощность будет выделяться при минимальной длине нихрома (минимальном сопротивлении), а ЭДС и внутреннее сопр. источника - это напряжение источника питания, а вот о его мощности ничего не сказано, значит оно бесконечно, т.е. и кол-во обогревателей бесконечно.
Elman
Чтобы узнать количество обогревателей, нужно подставить хоть какое-то значение к длине н/п L
Roman_D
Цитата(Слава @ 8.11.2008, 16:29) *
А я думаю, что максимальная мощность будет выделяться при минимальной длине нихрома (минимальном сопротивлении), а ЭДС и внутреннее сопр. источника - это напряжение источника питания, а вот о его мощности ничего не сказано, значит оно бесконечно, т.е. и кол-во обогревателей бесконечно.

Точно. Может быть, максимальная мощность выделится при R->0?
А заданную длину нихромового провода поделить на число кусков, стремящегося к бесконечности?
Одна беда. При нагреве нихрома выше рабочей температуры он сгорит.
Victor195002
Добрыйвечер.

Ребята. По моему мы впадаем в болото оппортунизма. Давайте посмотрим Л.А. Бессонов «Теоретические основы электротехники», Москва, Высшая школа, 1996г, стр. 67…68.
Пример типовой, в принципе есть в любом учебнике по ТОЭ.
Roman_D
За оппортунизм спасибо. Все мы (кроме нонконформистов) оппортунисты.
Victor195002
Добрый вечер.


Да ладно Вам, я не хотел.
Roman_D
Цитата(Victor195002 @ 8.11.2008, 18:04) *
Да ладно Вам, я не хотел.
Без косяков, спасибо! С веселыми людьми весело!
Гость_Иван_*
Добрый вечер, коллеги!
Задача очень простая. Вот ее решение.
В условии задачи сказано, что необходимо найти такое количество однотипных обогревателей, при котором их суммарная мощность будет наибольшей. Рассмотрим электрическую цепь, в которую включен один обогреватель. Ток в цепи создается источником напряжения, задаваемого электродвижущей силой Е и внутренним сопротивлением r (именно так сказано в задании). Мощность, потребляемая обогревателем, определяется по очень простой формуле:
Роб = (Е^2 / (Rоб + r) ^2) * Rоб (1)
Где Rоб – сопротивление нагревательного элемента обогревателя
Эта формула следует из законов Джоуля – Ленца и Ома для рассматриваемой цепи.
По условию задачи сказано, что обогреватели однотипные, т.е. сопротивления их нагревательных элементов одинаковые. Обозначим сопротивление нихромовой проволоки как Rн, которое зависит от длины L и удельного сопротивления нихрома p соотношением:
Rн = p * L. (2)
Очевидно, что если общее сопротивление проволоки известно и равно Rн то из нее можно получить N однотипных обогревателей, сопротивление каждого из которых определяется по формуле:
Rоб = Rн / N. (3)
Суммарная мощность, потребляемая всеми нагревателями равна:
Рсум = N * Роб (4)
Подставим формулу (1) в (3), а затем полученное выражение в (4). В результате мы получим выражение, устанавливающее зависимость между суммарной мощностью обогревателей Рсум и их числом N. Выражение будет довольно сложным, поэтому я его приводить не стану (если кто-то захочет, может вывести его самостоятельно). В общем виде оно запишется так:
Рсум (N) = f(N) (5)
Далее необходимо взять частную производную от Рсум(N) по переменной N и затем полученное выражение приравнять нулю (так находится экстремум функции, что нам и нужно):

dPсум(N)
------------ = 0. (6)
dN
Решаем полученное уравнение относительно N. Это число однотипных обогревателей, при котором их суммарная мощность будет наибольшей
Вот и все!
Victor195002
Добрый вечер.
Цитата(Гость_Иван_* @ 8.11.2008, 21:12) *
Вот и все!


Да мы как бы это уже выяснили несколько выше.
Слава
ТОЭ, это чисто расчёт : п = Е / (I * R)
т.е. при I стремящемуся к бесконечности, неограниченному Е сопротивление тоже стремится к бесконечности.
Значит L вообще лишнее.
Смущает то, что слишком лёгкое для электромеханического факультета задание.
Victor195002
Доброе утро.


Цитата(Слава @ 8.11.2008, 21:58) *
ТОЭ, это чисто расчёт : п = Е / (I * R)


Ну, конечно, в ТОЭ без расчетов никуда. Вы все таки посмотрите пост # 11. Там наш гость расстарался, и за нас, ленивых, практически довел задачу до решения.
Гость_Иван_*
Уважаемые коллеги!
В своем сообщении (пост № 11) я выложил решение задачи. Оно получено из условия, что каждый из нагревателей имеет мощность, определяемую его сопротивлением и параметрами источника напряжения (Е и r). Поэтому я рассматривал цепь, в которую включен только один обогреватель. Мне кажется, что условия задачи не конкретизированы. Можно условия трактовать иначе. Например, считать, что в электрическую цепь параллельно включено N обогревателей, каждый из которых имеет одинаковое сопротивление Rоб. Необходимо определить число обогревателей, при котором их суммарная мощность имеет наибольшее значение. Такая задача тоже довольно простая.
Сопротивление одного обогревателя можно определить по формуле:
Rоб = Rнх / N (1)
N параллельно соединенных сопротивлений, каждое из которых определяется по (1), можно эквивалентировать одним сопротивление:
Rэкв = Rнх / N^2 (2)
Далее находим мощность, выделяемую на эквивалентном сопротивлении Rэкв
Р = (E^2/ (r + Rэкв)^2)*Rэкв (3)
Эта мощность есть суммарная мощность N однотипных обогревателей, включенных в электрическую цепь. Подставив в (3) выражение (2). Получим уравнение, связывающее между собой Р и N. Далее необходимо взять частную производную от Р по N и приравнять полученное уравнение к нулю, а затем его решить относительно N.
Таким образом, данную задачу можно трактовать двояко, что обуславливает существование двух вариантов ее решения. Повторюсь, что в условии задачи имеется некоторая неясность, устранив которую можно однозначно выбрать тот или иной вариант решения.
Слава
Извините, но 11 пост редактировался после моего 13.
В нём какой то странный вывод из закона Джоуля-Ленса Р=UI=I^2*R=U^2/R
Как это получилось Р = (Е^2 / (R + r) ^2) * R ?
Если взять реальное напряжение U=E-Ir (стр.29 вышеупомянутого ТОЭ), подставить в неё ток I=E/(R+r) (стр.30), то получим U=ER/(R+r) или для мощности Р=UI=ERI/(R+r)
где R - общее сопр. нагрузки
r - внутреннее сопрот. источника.

Ну а вообще то мне кажется вопрос на логику - источник бесконечной энергии - идеализированный источник питания по условию, макс.допустимая мощность спирали тоже не задана, т.е. бесконечна, соответственно и ответ простой - чем больше штук нарежешь, тем и сила.
Roman_D
Цитата(Слава @ 9.11.2008, 18:59) *
Ну а вообще то мне кажется вопрос на логику - источник бесконечной энергии - идеализированный источник питания по условию, макс.допустимая мощность спирали тоже не задана, т.е. бесконечна, соответственно и ответ простой - чем больше штук нарежешь, тем и сила.

Я тоже так поначалу думал. Если бы не внутреннее сопротивление источника. Логически, когда сопротивление нагревателя уже заметно в расчетах, напряжение на нагревателе начинает падать (считать лень в воскресенье icon_smile.gif ).
В принципе - делитель напряжения.
mic61
Цитата(Victor195002 @ 8.11.2008, 14:59) *
Наверное, не все так просто. Максимальное значение мощности будет зависеть от соотношения сопротивления нагрузки и внутреннего сопротивления источника напряжения. Помнится, максимум наступает при равенстве этих сопротивлений. Далее проще.

Согласен ("Кирхгоф всегда прав!" (с))!
Далее проще, но не совсем. Обозначим R0, Ом - сопротивление куска провода заданной длинны. Когда мы порубим ее на N кусков одинаковой длинны (и сопротивления), то получим N кусков с сопротивлением каждого куска R0/N.
Соединив эти N кусков паралельно получим общее сопротивление Rсум = R0/(N^2). Т.к. максимум мощности достигается при равенстве внутреннего сопротивления с сопротивлением нагрузки, то приравняем Rсум = Rвн.
Получим: Rвн = R0/(N^2).
Откуда N = SQRT(R0/Rвн).
Естественно, может получиться не целое число. Округляем.
НО! В условии не задано сечение нихрома. Поэтому R0 найти невозможно icon_sad.gif
Думаем дальше.
savelij®
Цитата
В условии не задано сечение нихрома. Поэтому R0 найти невозможно
А в этом и нет необходимости. Задача теоретическая и результатом будет выражение, а не числовое значение, хоть в условии и звучит
Цитата
Определить число нагревателей


Начал было позавчера составлять формулу, но когда выражение стало похоже на квадратный трёхчлен... плюнул... icon_redface.gif
Victor195002
Цитата(mic61 @ 9.11.2008, 23:29) *
НО! В условии не задано сечение нихрома. Поэтому R0 найти невозможно icon_sad.gif
Думаем дальше.


1. Да, дела! Вот задачки то в ВУЗах.

2savelij

Представляю себе то чувство омерзения, которое возникло при ближайшем рассмотрении чего то, похожего на квадратный трехчлен. Я себе и представить такого не могу!
Гость_Иван_*
Цитата(Слава @ 9.11.2008, 19:59) *
Извините, но 11 пост редактировался после моего 13.
В нём какой то странный вывод из закона Джоуля-Ленса Р=UI=I^2*R=U^2/R
Как это получилось Р = (Е^2 / (R + r) ^2) * R ?
Если взять реальное напряжение U=E-Ir (стр.29 вышеупомянутого ТОЭ), подставить в неё ток I=E/(R+r) (стр.30), то получим U=ER/(R+r) или для мощности Р=UI=ERI/(R+r)
где R - общее сопр. нагрузки
r - внутреннее сопрот. источника.

Ну а вообще то мне кажется вопрос на логику - источник бесконечной энергии - идеализированный источник питания по условию, макс.допустимая мощность спирали тоже не задана, т.е. бесконечна, соответственно и ответ простой - чем больше штук нарежешь, тем и сила.


Выражение для определения мощности, выделяемой на сопротивлении нагревателя, указанное мною в сообщения, абсолютно верное. Смотите сами.
Мощность, выделяемая на сопротивлении нагревателя R определяется по формуле:
Р = I^2 * R,
Ток I для цепи, в которую включен ИН с ЭДС Е и внутрениим сопротивлением r определяется по формуле:
I = E / (R + r).
Подставив I в выражение для P, получим
P = (E^2 / (R+ r)^) * R.
Выражение, на которое указваете Вы - Р=UI=ERI/(R+r) - определяет мощность всей цепи (т.е. мощность, выдаваемую ИН), а не мощность, которая выделяется на сопротивлении нагревателя.
Читайте хорошую техническую литературу!

mic61, Вы совершенно правы! Вы получили конечное выражение для определения числа N, исользуя условие получения максимальной мощности электроприемником r = Rн. В своем последнем сообщении я дал полный вывод полученной Вами формулы для определения N.
Гость_Иван_*
Слава, прошу прощения, я допустил ошибку в последнем сообщении. Вы получили верную формулу для определения мощности, выделяемой на сопротивлении R - Р=ERI/(R+r) (я почему невнимательно просмотрел Ваше сообщение и сделал ложный вывод о том, что это выражение для определения мощности всей цепи - мощности, выдаваемой ИН, еще раз простите). Но если в это выражение подставить ток, определяемый по формуле I = E / (R + r). то получится:
Р = (E^2 / (R + r)^ 2) * R
Выражение совпадает с тем, которое получил я.
Всего доброго!
Roman_D
Заблудившись в дебрях квадратных трехчленов, fun.gif я вдруг внезапно понял простую весчь: максимальная мощность в цепи будет выделяться, когда сопротивление нагревателя будет равно внутреннему сопротивлению источника.

Только не спрашивайте, как я до этого дошел... beer.gif Исследуйте функцию на максимум и увидите.
Дальше задача простая. Чтобы не париться с дробями при расчете параллельного соединения проводников, переведите сопротивления в проводимость и поделите проводимость нихромовой проволоки на проводимость источника напряжения. Округляем до ближайшего целого, получаем количество кусков, на которое надо порезать провод. mage.gif
Слава
Спасибо за содействие, даже неудобно как то занимать Ваше время, но
Цитата
Исследуйте функцию на максимум
Делал это неуверенно 20 с гаком лет назад, говорят... по подробнее можно?
mic61
Цитата(Слава @ 10.11.2008, 18:24) *
Спасибо за содействие, даже неудобно как то занимать Ваше время, но Делал это неуверенно 20 с гаком лет назад, говорят... по подробнее можно?

А давайте вспоминать вместе.
Итак, составим уравнение (по известным законам):
I=E/(Rвн+Rнгр), где:
I - ток, А
E - ЭДС источника, В
Rвн - внутреннее сопротивление источника, Ом
Rнгр - сопротивление нагрузки (в данном случае - нихром), Ом.
Мощность, выделяющаяся на сопротивлении нагрузки:
Pнгр=I^2*Rнгр; Pнгр= [E/(Rвн+Rнгр)]^2*Rнгр;
Pнгр=E^2*Rнгр/(Rвн+Rнгр)^2
В последнем уравнении Rнгр - переменная величина. Т.е. Pнгр=f(Rнгр) (мощность есть функция от сопротивления нагрузки.)
Сразу анализируем полученную функцию: переменная (Rнгр) и в числителе и в знаменателе. Функция явно не линейная и вполне может (но не обязана) иметь точки экстремума (максимума или минимума, но не более одной, т.к. наивысшая степень - вторая. Возьмем производную Pнгр`= f(Rнгр)`Для этого воспользуемся формулой, которая называется "производная от частного двух функций" (любой учебник по началам анализа или, например, здесь http://uztest.ru/abstracts/?id=48&t=4.)
Если H(x)=F(x)/G(x), то H`(x)=(F`(x)*G(x)-G`(x)*F(x))/G(x)^2.
В нашем случае первая функция (числитель) - F(x)=E^2*Rнгр, вторая функция (знаменатель) G(x)=(Rвн+Rнгр)^2.
Итак: P`(Rнгр) = [(E^2*Rнгр)`*(Rвн+Rнгр)^2-((Rвн+Rнгр)^2)`*(E^2*Rнгр)]/((Rвн+Rнгр)^2)^2
Вобщем, на экране это смотрится длинно и непонятно. Поэтому приведу окончательную формулу:
P`(Rнгр) = [E^2*(Rвн-Rнгр)]/[(Rвн+Rнгр)^3]
Далее, чтобы найти точку экстремума (в данном случае, не вдаваясь в подробности максимума) необходимо приравнять производную к нулю
P`(Rнгр) = 0
[E^2*(Rвн-Rнгр)]/[(Rвн+Rнгр)^3]=0 и решить это уравнение.
Решаем:
E^2*(Rвн-Rнгр)=0 и (Rвн+Rнгр)^3 <> 0 -знаменатель не может равняться нулю
Очевидно, что знаменатель не может равняться нулю, поэтому:
E^2*(Rвн-Rнгр)=0
(Rвн-Rнгр)=0
Rвн=Rнгр
Итак, максимум этой функции будет при сопротивлении нагрузки равном внутреннему сопротивлению источника.
Ну, а далее мы можем подставить в первоначальное уравнение вместо Rнгр - Rвн, и увидеть, что эта максимальная мощность будет равна половине максимальной мощности источника. Т.е. половина мощности "потеряется" не внутреннем сопротивлении источника. Но это так, к слову...


Roman_D
Цитата(mic61 @ 10.11.2008, 20:07) *
Итак, максимум этой функции будет при сопротивлении нагрузки равном внутреннему сопротивлению источника.
Ну, а далее мы можем подставить в первоначальное уравнение вместо Rнгр - Rвн, и увидеть, что эта максимальная мощность будет равна половине максимальной мощности источника. Т.е. половина мощности "потеряется" не внутреннем сопротивлении источника. Но это так, к слову...

Вот спасибо человеку! Доказал! В понедельник!!!
И вправду так оно и есть. Чтобы получить максимум, надо отдать половину. Диалектика...
Слава
Цитата
Вот спасибо человеку! Доказал! В понедельник!!!
И вправду так оно и есть. Чтобы получить максимум, надо отдать половину. Диалектика...

Присоединяюсь полностью!
Roman_D а Понедельник, это так запущено? icon_eek.gif icon_redface.gif icon_smile.gif
Ну что ж, тогда с меня причитается beer.gif
mic61
Цитата(Слава @ 10.11.2008, 21:06) *
Присоединяюсь полностью!
Roman_D а Понедельник, это так запущено? icon_eek.gif icon_redface.gif icon_smile.gif
Ну что ж, тогда с меня причитается beer.gif

Я не против. Скинте на мыло 0,5 Мбайт похолоднее...
Roman_D
На здоровье, качайте (количество ограничено).
Слава
А вот и результаты.
mic61
Цитата(Roman_D @ 10.11.2008, 21:28) *
На здоровье, качайте (количество ограничено).

Ребята, я сам столько не осилю... icon_biggrin.gif
Roman_D
Это чудо (я про результаты) как зовётся?
Слава
Искал сейчас ссылку на прогу, но так и не нашёл. А ведь вроде на этом сайте брал. Бесплатная, начала электроники. Правда без электронных схем. Почти 5М, простенькая, работает без установки. 2 тестера, 1 осцилограф. Удобно проводить лабораторные работы по электротехнике.
AlexPetrov
Та-ак, несанкционированная пьянка в старшем отряде...

А бубль-гум энтот есть на нашем складе, называется Начала электроники, в архиве 2,4 Мб.
Слава
Во, точно отсюда и брал.
OBON
Цитата(AlexPetrov @ 11.11.2008, 6:23) *
....
А бубль-гум энтот есть на нашем складе, называется Начала электроники

Здравствуйте всем!
Очень любопытная програмка! Разработчики молодцы. Ознакомился поверхностно, буду изучать далее.
AlexPetrov, есть ли информация о точности расчетов? Можно ли ее предложить в школу естественно не на коммерческой основе?
С уважением!
AlexPetrov
OBON, вопрос не по адресу. Наш ресурс всего лишь предоставил площадь для размещения программы, а она, как, собственно, и всё остальное ПО, принимается и используется нами "as is".
Просмотрите информацию под кнопкой "Об авторах", мне кажется она достаточна для ответа на второй вопрос.
Олега
Цитата(Roman_D @ 10.11.2008, 10:12) *
я вдруг внезапно понял простую весчь: максимальная мощность в цепи будет выделяться, когда сопротивление нагревателя будет равно внутреннему сопротивлению источника.
Только не спрашивайте, как я до этого дошел... beer.gif


Не иначе из сообщения 3.
И даже не плеснули icon_sad.gif
AlexPetrov
Бывает. Примеров много: Попов и Маркони, Джоуль и Ленц, Петров и Водкин...
Roman_D
Цитата(Олега @ 12.11.2008, 16:26) *
Не иначе из сообщения 3.
И даже не плеснули icon_sad.gif

Нет, я не очень внимательно читал этот пост, и доехал самостоятельно, построив график функции. Зависимость мощности от соотношения сопротивлений. Грубо, но наглядно.
А пива не дам, самому мало. tongue-1.gif
Олега
Мдя..пиво такой продукт - не до диалектики..
Victor195002
Доброе утро.

Цитата(Олега @ 12.11.2008, 17:26) *
Не иначе из сообщения 3.
И даже не плеснули icon_sad.gif


Считаю, что главное - результат. Он получен. Ну, пивка, конечно, хотелось. Что ж, будет должен icon_smile.gif
Roman_D
В Риге будете - местным побалую beer.gif
А к вам пока не ездец ездун ездок icon_mrgreen.gif
Victor195002
Добрый вечер.


2Roman_D

Ловлю на слове icon_smile.gif
Для просмотра полной версии этой страницы, пожалуйста, пройдите по ссылке.
   Rambler's Top100      
Электрик © 2002-2008 Oleg Kuznetsov     
  Русская версия IP.Board © 2001-2025 IPS, Inc.