Быть может, кто-нибудь знает, как рассчитываются подобные системы:
http://www.etudes.ru/ru/mov/mov020/index.php

Т. е. как строго доказать, что заряды в конце концов расположатся в нулях многочлена Якоби?
По-видимому, такие задачи рассматривались где-нибудь в курсах по электростатике.

С приведенной задачей перекликается и эта:
http://www.etudes.ru/ru/mov/mov009/index.php

Якоби, конечно, голова; однако от решения задачи распределения зарядов современным электротехникам пользы мало: так, гимнастика ума
Та же польза будет от воспроизведения опытов А. С. Попова в нынешней радиотехнике.
ИМХО, конечно - дай Бог ошибаться - но это просто задача для тренировки.

По этому поводу позвольте напомнить старый анекдот:
Курсы повышения квалификации в Академи Генштаба. Входит Петька с грязной лопатой, ругается на чем свет стоит. Василий Иваныч: что за проблема, Петька? Да вот задачу задали: найти квадратный корень!
Эх, мне бы твои проблемы... (затачивая шашку). А вот мне одночлен на многочлен разделить задали...

Оператор Якоби находит минимум некой нормы векторной величины. Но он может и найти всех минимумов, если они одинаковы в аналитическом смысле (абсолютная точность). Дело здесь в том, что в якобиан входят производные, и уж куда они поведут, туда мы и выйдем. Это хорошо видно в вычислительном эксперименте, основанном на численных методах.

Поскольку заряды располагаются, передвигаясь, так, чтобы достигнуть возможного минимума потенциальной энергии (в неконсервативных системах — максимума полной), то и решения (нули) покажут их положение в конечном итоге (когда прекратится переходной — в данном случае колебательный — процесс).

Интересно, что по мере роста порядка размерности пространства, количество равноценных расположений растет. Некоторые из них могут быть лишь синтезированы специальными методами и никак не следуют из описания якобианом, хотя, естественно, и не противоречат ему (двигаться тогда следует не сообразно якобиану, а точно в противоположном направлении; невязка при этом должна по постановке задачи обязательно уменьшатся — примененный оператор д.б. сжимающим: на сфере шара, например).