Как, и влияет ли вообще на показания счтёчика то, что у него подгорает контакт отходящей фазы (раскалялся буквально до красна)?

Влияет на то, что у Вас там подключено, и оно там быстро отгорит (уже свершилось?).

В нашей профессии контак должен быть надежным... Вот из-за ненадежности и высокого сопротивления он греется. Отгорит, будет все гораздо хуже. Придется ремонтировать счетчик или заменить полностью и объясняться перед контролером...

считайте что вы подключили к счетчику кипятильник или утюг

Разогрев проводников означает ошибки в монтаже. Возможно, фатальные (пожар + разборки). Причина - недостаточная затяжка зажимов счетчика, окисление меди на нагревающемся контакте с дальнейшим возрастанием переходного сопротивления... Использование старого многожильного провода.
Короче, главный минус счетчиков прямого включения - повышенная пожароопасность при неквалифицированном монтаже.
Вариант 2 - систематическая перегрузка (менее вероятно).

То что всё это надо чинить и менять - понятно. Меня интересует другое. Получается что плохой контакт - это повышенное сопротивление.
Чем выше сопротивление, тем меньше сила тока, но нагрузка становится больше. Значит счётчик крутится быстрее, а автомат защиты, который до счётчика, этого не замечает, так как срабатывает на ток. Всё сгорает, но автомат не виноват.
Я чувствую что в чём-то не прав, но не пойму в чём

C какой стати?
Увеличивается сопротивление, нагрузка уменьшается. Но учтите, что сопротивление в цепи питания - следовательно у Вас падение напряжения до потребителя - а это уже плохо. Чем больше потребления, тем больше падения - т.к. мощность то потребитель всё равно свою пытается вытянуть. (Р = U * I* cosf * n)

При ухудшении сопротивления контакта тепловая мощность, выделяющаяся на нем, будет расти по квадратичному закону. Напряжение упадет на 10%, а на счетчике уже будет выделяться (при токе 10А) уже солидная мощность в 2 сотни ватт. Пластмасса обугливается и становится проводимой. Далее процесс продолжается уже без внешней нагрузки...