12313123

ПО первому вопросу ничего непонятно. Попробуйте еще раз объяснить.
ПО второму - выключатель должен быть в разрыве одного из проводов. Не знаю в каком состоянии у вас там кнопка, скорее всего ей кирдык.
Купите в магазине вот такой выключатель и приделайте его как-нибудь.

Чтобы его правильно подключить - разрежте изоляию подлиннее, один из проводов разрежте, зачистите концы, подключите к выключателю. ПО одному проводу к каждому винту.

По первому ворпросу. Чтобы загорелась люминесцентная лампа, вам нужно отключить от клеммника кабель, идущий на сетевой фильтр и на его место посадить синенькую штучку, которая лежит рядом. А сетевой фильтр нужно подключать отдельно и не от светильников, а от вводного автомата, если таковой имеется в гараже. А лучше сделать стационарную розетку.

И кстати это не фонарик, а т.н. "переноска"

А это как? РОЗЕТКА ДВУХКЛАВИШНАЯ???

Вводной автомат - это автомат, который включает и отключает ВСЮ электроэнергию в гараже

(ответ на коммент №1)
По моему мнению, Вы слишком усложняете вопрос. И вопрос не совсем понятен...
Подключите вторую люминисцентную лампу через включатель как обычно.
Если подключите люменку через фильтр, то она может не загораться или будет мигать.
Т.к. Вы увеличите инерционность включения ламп (тлеющего разряда).
По поводу кнопки включения не создавайте себе проблем - купите новую.
Это не дефицит и она стоит копейки.

под "розетка двухклавишная",думаю подразумевается блок"розетка с двухклавишным выключателем".на стенах стоят два светильника с люмин.лампами.
Вам надо сетевой фильтр подключать,как сказал Диманыч,в отдельную розетку,не зависимую от выключателей света.схему светильника следует восстановить.
а вводными автоматами можете выключать все электроприборы,когда уходите из гаража.
вариантов много,зависит от хозяина.

Товарищи ... человек явно не владеет даже азами электротеники, не говорю о ТБ по ней.
Мое мнение в таких случаях, надо сначала проводить ликбез, и только после этого давать советы.
Пусть человек доживет ... хоть до моих лет!

Если сможете самостоятельно выдернуть провода (см. фото 2), если сможете идентифицировать их (фаза или ноль или земля), если это действительно проходная коробка, если сможете прозвонить провода от выключателя до коробки... тогда можно делать какие-то выводы...
ИМХО
Не получится заочная консультация... с трудом верится в положительный исход.

Сделать можно всё... или почти всё.
Какой смысл обсуждать потенциальные возможности?
Ну дадут Вам на форуме заочный совет, глядя на картинку, на которой нифига не понять... Это решит Ваши проблемы? Нет.
Если бы была возможность определить на расстоянии, что там в пучке намотано, то в первых же сообщениях дали решение вопроса.

Да конечно! Пригласите обыкновенного электрика и он вам там все сделает как вам надо.